Phase 4 | Matrizen zur Beschreibung von Transformationen

🪧 Worum geht es in dieser Phase?

Wir haben in der letzten Phase die folgenden affinen Transformationen kennengelernt:

A. Skalierung (Vergrößerung/Verkleinerung)

B. Translation (Verschiebung)

C. Rotation (Drehung)

Solche Transformationen heißen affin (= verwandt), weil sie die Form eines Objekts nicht verändern.

Wir schauen uns in dieser Phase an, wie diese Transformationen mathematisch repräsentiert werden. Dazu müssen wir zunächst lernen, was Vektoren und Matrizen sind.

Mathematische Darstellungen der drei affinen Transformationen

Vektoren und Matrizen

Punkte unseres Koordinatensystems stellen wir als Spaltenvektoren $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ dar. Beispiel: Der Punkt $(2|-\frac{4}{3})$ wird dargestellt als $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$ .
Mit Hilfe von Matrizenmultiplikationen werden Punkte von einem Ort an einen anderen Ort „geschickt“ (man sagt: abgebildet). Im Beispiel unten wird der Punkt $(1|2{{{ content }}})$ auf den Punkt $(8|14)$ abgebildet:

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \\ 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 14 \end{pmatrix}

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🔴 YouTube| 3Blue1Brown | Linear transformations and matrices | Chapter 3, Essence of linear algebra

a) 👥 Gegeben ist der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ sowie die Matrix $M = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ .

Bestimme den Punkt, auf den $v_1$ durch die Multiplikation mit der Matrix abgebildet wird.

Der neue Punkt ist $($ {z{30}} | {z{19}} $)$ .

\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \\ 1 \cdot 4 + 5 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 + 6 \\ 4 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 \\ 19 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 3 + 0 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 - 8 \\ 6 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ 6 \end{pmatrix}

A. Skalierung (Vergrößerung/Verkleinerung)

Zum Ausprobieren bei GeoGebra: „The Geometry of 2x2 Matrix Multiplication“

Übersicht über alle Methoden von p5.js zu Transformationen